luas daerah yang diarsir pada gambar dibawah adalah
Blog Koma - Setelah kita mempelajari cara mengintegralkan suatu fungsi baik itu fungsi aljabar maupun fungsi trigonometri, sudah saatnya kita akan mempelajari penggunaan integral itu sendiri. Ada beberapa penggunaan dari integral diantaranya yaitu menghitung luas daerah yang dibatasi oleh beberapa kurva, menghitung volume benda putar, dan menghitung panjang lintasan suatu kurva. Pada artikel ini akan kita bahas salah satunya yaitu Menghitung Luas Daerah Menggunakan Integral. Dalam mempelajari materi Menghitung Luas Daerah Menggunakan Integral ini, ada beberapa hal yang harus kita kuasai terlebih dahulu selain menguasai cara pengintegralan yaitu menggambar grafik suatu fungsi. Grafik atau kurva yang biasa dihitung luasnya adalah grafik fungsi linear berupa garis dan grafik fungsi kuadrat berupa parabola. Terkadang juga melibatkan grafik dengan fungsi selain linear dan kuadrat dimanan untuk menggambar kurvanya bisa menggunakan turunan yang bisa dibaca pada artikel Menggambar Grafik Fungsi Menggunakan Turunan. Cara Menghitung Luas Daerah Menggunakan Integral sebenarnya dibagi menjadi dua secara garis besarnya yaitu luas daerah dengan batas ada di sumbu X dan luas daerah yang batasnya ada pada sumbu Y. Kemudian untuk masing-masing baik batas di sumbu X maupun sumbu Y dibagi lagi menjadi beberapa bagian. Untuk lebih jelasnya, mari kita simak materinya langsung pada penjabaran berikut ini. Luas Daerah dengan Batas pada Sumbu X $\spadesuit \, $ Luas Daerah dibatasi Satu Kurva pada sumbu X Untuk daerah yang dibatasi oleh satu kurva memiliki dua tipe luas yaitu luas dengan daerah di atas sumbu X dan daerah berada di bawah sumbu X seperti gambar berikut ini *. Luas Daerah R di atas sumbu X yang dibatasi oleh kurva $ y = fx \, $ , sumbu X, garis $ x = a \, $ dan garis $ x = b \, $ , dengan $ fx \geq 0 \, $ pada interval $[a,b] \, $ , dapat dihitung dengan rumus integral Luas R $ \, = \int \limits_a^b fx dx $. *. Luas Daerah S di bawah sumbu X yang dibatasi oleh kurva $ y = gx \, $ , sumbu X, garis $ x = c \, $ dan garis $ x = d \, $ , dengan $ gx \leq 0 \, $ pada interval $[c,d] \, $ , dapat dihitung dengan rumus integral Luas S $ \, = - \int \limits_c^d gx dx $. Catatan Kenapa luas daerah di bawah sumbu X diberi tanda negatif? karena nilai fungsi di bawah sumbu X negatif padahal luasan suatu daerah selalu bernilai positif sehingga diberi atau dikalikan negatif agar bernilai positif. $\spadesuit \, $ Luas Daerah dibatasi Dua Kurva pada sumbu X Untuk luas daerah yang terletak di antara dua kurva dengan batas ada di sumbu X bisa dilihat gambar berikut ini. Daerah U terletak antara dua kurva dibatasi oleh dua kurva yaitu kurva fungsi $ y_1 = fx \, $ dan $ y_2 = gx \, $ dengan batas pada sumbu X yaitu terletak pada interval $[a,b] \, $ secara umum dapat dihitung dengan MENGURANGKAN KURVA ATAS dan KURVA BAWAH dimanapun letak kurva tersebut. Sehingga luas daerah U dapat dihitung dengan rumus Luas U $ \, = \int \limits_a^b y_1 - y_2 dx = \int \limits_a^b fx - gx dx $ Contoh Soal Luas Daerah pada Sumbu X 1. Hitunglah luas daerah yang dibatasi oleh kurva $ y = 4x - x^2, x = 1, x = 3$, dan sumbu X. Penyelesaian *. Kita gambar dulu kurva dan arsiran daerah yang dimaksud. Untuk cara menggambarnya, silahkan baca artikel Sketsa dan Menggambar Grafik Fungsi Kuadrat. *. Menentukan luas daerah yang diarsir $\begin{align} \text{Luas Arsiran } & = \int \limits_1^3 fx dx \\ & = \int \limits_1^3 4x - x^2 dx \\ & = [2x^2 - \frac{1}{3}x^3]_1^3 \\ & = [ - \frac{1}{3}.3^3] - [ - \frac{1}{3}.1^3] \\ & = [18 - 9] - [2 - \frac{1}{3} ] \\ & = 7\frac{1}{3} \end{align} $ Jadi, luas daerah yang diarsir adalah $ 7\frac{1}{3} \, $ satuan luas. 2. Tentukan luas daerah yang diarsir pada Gambar berikut dengan menggunakan integral. Penyelesaian *. Karena L2 terletak di bawah sumbu X bernilai negatif, L2 diberi tanda negatif agar menjadi positif. Oleh karena itu, luas daerah yang dicari adalah sebagai berikut. $\begin{align} \text{Luas Arsiran } & = L_1 + -L_2 = L_1 - L_2 \\ & = \int \limits_0^1 x^2 - 5x + 4 dx - \int \limits_1^4 x^2 - 5x + 4 dx \\ & = [\frac{1}{3}x^3 - \frac{5}{2}x^2 + 4x]_0^1 - [\frac{1}{3}x^3 - \frac{5}{2}x^2 + 4x]_1^4 \\ & = 6\frac{1}{3} \end{align} $ Jadi, luas daerah yang diarsir adalah $ 6\frac{1}{3} \, $ satuan luas. 3. Tentukanlah luas daerah yang dibatasi oleh kurva $ fx = - sin x , \, 0 \leq x \leq 2\pi $, dan sumbu-x. Penyelesaian *. Kita gambar dulu kurva $ fx = - \sin x \, $ dan daerah arsirannya. *. Menentukan luas daerah arsiran. Luas daerah arisran terdiri dari dua daerah yaitu A1 dan A2, dimana A2 ada di bawah sumbu X sehingga kita berikan tanda negatif agar luasnya positif. $\begin{align} \text{Luas Arsiran } & = A_1 + -A_2 = A_1 - A_2 \\ & = \int \limits_\pi^{2\pi} -\sin x dx - \int \limits_0^\pi -\sin x dx \\ & = [\cos x]_\pi^{2\pi} - [\cos x]_0^\pi \\ & = [\cos 2\pi ] - [\cos \pi ] - [\cos \pi ] - [\cos 0 ] \\ & = [1] - [ - 1] - [ - 1 ] - [ 1 ] \\ & = 2 - - 2 \\ & = 4 \end{align} $ Jadi, luas daerah yang diarsir adalah 4 satuan luas. 4. Hitunglah luas daerah yang dibatasi oleh kurva $ y = x^2 - 2x \, $ dan $ y = 6x - x^2 $ ? Penyelesaian *. Menentukan titik potong kedua kurva $\begin{align} y_1 & = y_2 \\ x^2 - 2x & = 6x - x^2 \\ 2x^2 - 8x & = 0 \\ 2xx-4 & = 0 \\ x = 0 \vee x & = 4 \end{align} $ artinya titik potong kedua kurva di $ x = 0 \, $ dan $ x = 4 $. *. Berikut gambar daerahnya, *. Menentukan luas daerah arsiran. Daerah arsiran dibatasi oleh dua kurva yaitu $ y = x^2 - 2x \, $ di atas dan $ y = 6x-x^2 \, $ di bawah. $\begin{align} \text{Luas Arsiran } & = \int \limits_0^4 [ x^2 - 2x - 6x-x^2 ] dx \\ & = \int \limits_0^4 2x^2 - 8x dx \\ & = [ \frac{2}{3}x^3 - 4x^2 ]_0^4 \\ & = 21\frac{1}{3} \end{align} $ Jadi, luas daerah yang diarsir adalah $ \, 21\frac{1}{3} \, $ satuan luas. 5. Tentukanlah luas daerah yang dibatasi oleh kurva $ fx = 4 - x^2$, garis $ x = 0$, dan di atas garis $ y = 1$, di kuadran I. Penyelesaian *. Menentukan titik potong kedua kurva $\begin{align} y_1 & = y_2 \\ 4 - x^2 & = 1 \\ x^2 & = 3 \\ x & = \pm \sqrt{3} \\ x = -\sqrt{3} \vee x & = \sqrt{3} \end{align} $ Karena daerah yang dimaksud adalah kuadran I, maka titik potong yang dipakai adalah $ x = \sqrt{3} \, $ positif. *. Berikut gambar daerahnya, *. Menentukan luas daerah arsiran. Daerah arsiran dibatasi oleh dua kurva yaitu $ y = 4 - x^2 \, $ di atas dan $ y = 1 \, $ di bawah. $\begin{align} \text{Luas Arsiran } & = \int \limits_0^\sqrt{3} [ 4 - x^2 - 1 ] dx \\ & = \int \limits_0^\sqrt{3} [3 - x^2 ] dx \\ & = [3x - \frac{1}{3}x^3 ]_0^\sqrt{3} \\ & = 2\sqrt{3} \end{align} $ Jadi, luas daerah yang diarsir adalah $ \, 2\sqrt{3} \, $ satuan luas. Luas Daerah dengan Batas pada Sumbu Y Bagaimana dengan luas daerah dengan batas yang ada pada sumbu Y? Rumus dan cara penghitungannya hampir sama dengan luas daerah dengan batas pada sumbu X, hanya saja fungsinya harus diubah menjadi bentuk $ x = fy \, $ . Sementara luas yang dibatasi oleh dua kurva, caranya PENGURANGAN FUNGSI KURVA KANAN DAN FUNGSI KURVA KIRI. Kesulitan dari luas daerah yang batasnya pada sumbu Y adalah dalam mengubah fungsinya menjadi bentuk $ x = fy $. Sehingga kebanyakan soal dikerjakan dengan cara menggunakan batas pada sumbu X seperti di atas. Contoh soal 6. Kita akan coba untuk menghitung luas daerah dengan integral pada contoh soal nomor 5 di atas dengan batas yang kita gunakan ada pada sumbu Y. Fungsinya adalah $ y = 4 - x^2 \rightarrow x = \sqrt{4 - y } $. Batasnya adalah dari $ y = 1 \, $ sampai $ y = 4 $. Rumus dasar yang digunakan $ \int kax+b^n dx = \frac{k}{a} \frac{1}{n+1} ax+b^{n+1} + c $. *. Menghitung luasnya $\begin{align} \text{Luas Arsiran } & = \int \limits_1^4 \sqrt{4 - y } dy \\ & = [ -\frac{2}{3} 4 - y^\frac{3}{2} ]_1^4 \\ & = [ -\frac{2}{3} 4 - 4^\frac{3}{2} ] - [ -\frac{2}{3} 4 - 1^\frac{3}{2} ] \\ & = [ 0 ] - [ -\frac{2}{3} 3^\frac{3}{2} ] \\ & = [ 0 ] - [ -\frac{2}{3} 3\sqrt{3} ] \\ & = [ 0 ] - [ -2\sqrt{3} ] \\ & = 2\sqrt{3} \end{align} $ Jadi, luas daerah yang diarsir adalah $ \, 2\sqrt{3} \, $ satuan luas. Contoh soal yang belum diketahui fungsinya. 7. Hitunglah luas daerah yang diarsir berikut ini Penyelesaian a. Daerah gambar a dibatasi oleh fungsi linear garis lurus, sehingga kita harus menentukan fungsi linearnya terlebih dahulu karena fungsinya belum ada. Silahkan baca materi Gradien dan Menyusun Persamaan Garis Lurus. *. Garis melalui titik $x_1,y_1 = -2,0\ , $ dan $ x_2,y_2 = 0,1 $ *. Persamaan garis lurusnya $\begin{align} \frac{y-y_1}{y_2-y_1} & = \frac{x-x_1}{x_2-x_1} \\ \frac{y-0}{1-0} & = \frac{x-2}{0-2} \\ \frac{y}{1} & = \frac{x + 2}{2} \\ y & = \frac{1}{2}x + 1 \end{align} $ Artinya fungsi linearnya adalah $ y = \frac{1}{2}x + 1 $ *. Menghitung luasnya $\begin{align} \text{Luas Arsiran } & = \int \limits_0^2 \frac{1}{2}x + 1 dx \\ & = [ \frac{1}{4}x^2 + x ]_0^2 \\ & = [ \frac{1}{4}. 2^2 + 2 ] - [ \frac{1}{4} + 0 ] \\ & = [ 3 ] - [ 0 ] \\ & = 3 \end{align} $ Jadi, luas daerah yang diarsir adalah $ \, 3 \, $ satuan luas. b. Daerah gambar b dibatasi oleh fungsi kuadrat karena kurvanya berupa parabola, sehingga kita harus menentukan fungsi kuadratnya. Silahkan baca materi Menyusun dan Menentukan Fungsi Kuadrat. *. Titik puncaknya $x_p,y_p = 3,0 \, $ dan melalui titik 0,3 *. Menyusun fungsi kuadratnya $\begin{align} y & = ax-x_p^2 + y_p \\ y & = ax-3^2 + 0 \\ y & = ax-3^2 \, \, \, \, \, \, \text{[substitusi titik 0,3]} \\ 3 & = a0-3^2 \\ 3 & = 9a \\ a & = \frac{1}{3} \end{align} $ Artinya fungsi kuadratnya adalah $ y = \frac{1}{3} x-3^2 = \frac{1}{3} x^2 - 6x + 9 \rightarrow y = \frac{1}{3}x^2 - 2x + 3 $ *. Menghitung luasnya $\begin{align} \text{Luas Arsiran } & = \int \limits_0^3 \frac{1}{3}x^2 - 2x + 3 dx \\ & = [ \frac{1}{9}x^3 - x^2 + 3x ]_0^3 \\ & = [ \frac{1}{9}.3^3 - 3^2 + ] - [ \frac{1}{9}.0^3 - 0^2 + ] \\ & = [ 3 ] - [ 0 ] \\ & = 3 \end{align} $ Jadi, luas daerah yang diarsir adalah $ \, 3 \, $ satuan luas. Dari semua contoh dan cara penghitungan Luas Daerah Menggunakan Integral di atas, perlu kita ketahui bahwa setiap pengerjaan menggunakan integral harus memerlukan fungsi kurva masing-masing, daerah arsiran, dan batasan baik pada sumbu X maupun sumbu Y. Untuk pemilihan batas integralnya sumbu X atau sumbu Y sebaiknya kita sesuaikan dengan masing-masing soal dan fungsi yang ada. Apakah bisa menentukan luas daerah menggunakan integral tanpa harus menggambar kurvanya? Untuk beberapa jenis soal memang bisa tanpa harus menggambar grafiknya atau kurvanya terlebih dahulu. Silahkan baca materinya pada artikel cara cepat menghitung luas daerah berkaitan integral.
Luas daerah yang diarsir pada umumnya adalah bangun datar yang membentuk suatu bentuk tertentu. Bentuk dari luas daerah yang diarsir dapat berupa suatu bangun atau kombonasi/bagian dari suatu bangun. Bangun datar sendiri merupakan bidang dua dimensi yang memiliki ukuran panjang dan lebar. Ada banyak bidang yang termasuk sebagai bangun datar seperti persegi, persegi panjang, layang-layang, belah ketupat, trapesium, lingkaran, dan lain sebagainya. Untuk beberapa bidang yang telah disebutkan tersebut terdapat rumus umum untuk menghitung luasnya. Beberapa bidang bangun datar lain dapat juga berbentuk tidak beraturan yang biasanya ditunjukkan melalui luas daerah yang diarsir. Cara menghitung luas daerah yang diarsir tersebut dapat menggunakan rumus luas yang berlaku pada bidang datar. Tentunya rumus yang digunakan perlu disesuaikan dengan bentuk bangunnya. apakah kombinasi dari beberapa rumus atau bagian dari rumus. Bagaimanakah cara menghitung luas daerah yang diarsir? Sobat idschool dapat mencari jawabannya melalui bahasan di bawah. Table of Contents Luas Bangun Datar Beraturan Luas Daerah yang Diarsir Contoh Soal dan Pembahasan Contoh 1 – Soal Menghitung Luas Daerah yang Diarsir Contoh 2 – Soal Menghitung Luas Daerah yang Diarsir Contoh 3 – Soal Menghitung Luas Daerah yang Diarsir Luas Bangun Datar Beraturan Bentuk bangun datar beraturan sering kita jumpai di kehidupan sehari-hari, misalnya meja yang biasanya memiliki bentuk persegi, persegi panjang, atau lingkaran. Contoh lain adalah layang-layang yaitu mainan dari kertas yang biasanya dapat diterbangkan karena ada angin. Setiap bangun datar tersebut memiliki luas daerah yang dapat dihitung melalui rumus umumnya. Besar luas daerah bergantung dari ukuran bangun datar berapa nilai panjang, lebar, alas, tinggi, atau jari-jari. Luas daerah dari bangun datar tersebut dapat diperoleh melalui rumus umum bangun datar. Beberapa rumus luas bangun datar beraturan dan gambarnya sesuai dengan tabel berikut. Sobat idschool dapat menggunakan rumus-rumus yang sesuai bentuk bangun untuk menghitung luas daerah dari suatu bangun datar. Baca Juga Karakteristik Segitiga dan Segiempat Bentuk daerah yang diarsir dapat memiliki ragam yang berbeda dan sangat banyak jenisnya. Karena bentuk yang sangat beragam ini, tidak ada rumus umum yang berlaku untuk menghitung luas daerahnya. Namun, luas daerah yang diarsir dapat tetap dihitung menggunakan kombinasi rumus umum bangun datar yang sudah diketahui Bagaimana caranya?Sebagai contoh, akan diberikan proses cara menghitung luas daerah yang diarsir untuk sesuatu bangun. SoalPerhatikan daerah yang diarsir seperti gambar berikut. Bagaimana cara menghitung luas daerah tersebut?Tentu sobat idschool tidak mempunyai rumus umum secara langung untuk menghitung luasnya. Untuk menghitung luasnya, sobat idschool dapat menggunakan kombinas rumus lingkaran dan persegi. Perhatikan kembali bahwa luas daerah yang diarsir tersebut adalah luas daerah persegi sisi = 2s dikurangi 4 luas seperempat lingkaran jari-jari = s. Atau sama dengan luas persegi dengan panjang sisi 2s dikurangi luas lingkaran dengan panjang jari-jari s. Contoh Soal dan Pembahasan Beberapa contoh soal di bawah dapat sobat idschool gunakan untuk menambah pemahaman bahasan di atas. Setiap contoh soal yang diberikan dilengkapi dengan pembahasannya. Sobat idschool dapat menggunakan pembahasan tersebut sebagai tolak ukur keberhasil mengerjakan soal. Selamat Berlatih! Contoh 1 – Soal Menghitung Luas Daerah yang Diarsir PembahasanLuas daerah yang diarsir terdiri dari dua buah segitiga, yaitu PST dan QRS. Sehingga, untuk menghitung luas daerah yang diarsir perlumenghitung kedua luas segitita tersebut terlebih dahulu. LPST = LPQT – LPQS= ½ × 10 × 14 – ½ × 10 × 5= 70 – 25= 45 cm2 LQRS = LPQR – LPQS= ½ × 10 × 12 – ½ × 10 × 5= 60 – 25= 35 cm2 Larsir = LPST + LQRS= 45 + 35= 80 cm2 Jadi, luas daerah yang diarsir adalah 80 cm2Jawaban D Baca Juga Kesebangunan pada Segitiga Contoh 2 – Soal Menghitung Luas Daerah yang Diarsir Perhatikan gambar berikut! Dua lingakaran dengan pusat O dan C adalah dua lingkaran yang sama. Luas total bangun yang diarsir adalah 329 cm2. Luas persegipanjang OABC adalah ….A. 231 cm2B. 129 cm2C. 98 cm2D. 68 cm2 PembahasanPerhatikan kembali bangun yang diberikan pada soal! Luas total daerah yang diarsir sama dengan dua kali ¾ lingkaran dan luas persegi = 2 × ¾ LO + LOABCLarsir = 2 ¾ × π × OA2 + OA × OCLarsir = 2 ¾ × π × r2 + r × 2rLarsir = 3/2 × 22∕7 × r2 + 2r2Larsir = 33/7r2 + 2r2Larsir = 33/7r2 + 14∕7r2Larsir = 47∕7r2 Menghitng jari – jari329 = 47∕7r2r2 = 7∕47 × 329r2 = 49r = 7 cm Menghitung luas OABCLOABC = OA × OC= r × 2r= 2r2= 2 × 72= 2 × 49= 98 cm2 Jadi, luas persegipanjang OABC adalah 98 C Baca Juga Jenis – Jenis Segitiga Contoh 3 – Soal Menghitung Luas Daerah yang Diarsir Perhatikan gambar berikut! Luas daerah yang diarsir pada gambar di atas adalah … cm2A. 112B. 121C. 144D. 154 PembahasanLuas yang diarsir merupakan dua kali luas tembereng dari juring seperempat lingkaran. Untuk lebih jelasnya, perhatikan gambar berikut. Menghitung luas daerah yang diarsirLarsir = 2 × LtemberengLarsir = 2 × ¼π – ½ r2Larsir = 2 × ¼ × 22/7 – ½ 142Larsir = 2 × 22/28 – ½ 196Larsir = 2 × 8/28 × 196Larsir = 112 cm2 Jawaban A Demikianlah ulasan materi menghitung luas bangun datar yang diarsir yang dilengkapi dengan contoh soal beserta pembahasannya. Terima kasih sudah mengunjungi idschooldotnet, semoga bermanfaat. Baca Juga Luas dan Keliling Lingkaran
1 Luas bagian yang diarsir adalah 940 cm² . 2. Luas juring yang diarsir adalah 577,5 cm² . Pembahasan Lingkaran merupakan bangun datar yang tersusun dari beberapa titik yang memiliki jarak yang sama terhadap titik pusat, dimana jarak antara titik pusat dengan salah satu tutuk disebut jari-jari lingkaran.. Bagian-bagian dari lingkaran : PembahasanBangun datar di atas berbentuk tiga perempat lingkaran. Dengan menerapkan rumus luas lingkaran dengan diketahui jari-jari, diperoleh perhitungan sebagai berikut. Jadi, luas bangun datar di atas adalah . Dengan demikian, jawaban yang tepat adalah datar di atas berbentuk tiga perempat lingkaran. Dengan menerapkan rumus luas lingkaran dengan diketahui jari-jari, diperoleh perhitungan sebagai berikut. Jadi, luas bangun datar di atas adalah . Dengan demikian, jawaban yang tepat adalah B.